Matematik Eğitimi Profesürü Sinan Olkun, “Mevcut ilköğretim müfredatı ile cebir öğretiminin manalı olması mümkün değildir” başlıklı bir yazı kaleme aldı.
Daha evvelki yazılarında milletlerarası imtihanlardaki Geometri “başarımıza” dikkat çeken Olkun, tahlil tekliflerini kavramlar ortası bağların kurulması ve çocuk tarafından bu bağların algılanabilmesi için yapılması gerekenler olarak sıraladı.
Olkun’un yazısı şu formda:
“Daha evvel 22 Eylül 2022 tarihli Cumhuriyet gazetesinde çıkan yazımda milletlerarası imtihanlarda Geometri başarımızın düşüklüğünden ve öğretim programımızdaki bu başarısızlığı doğuran nedenlerden bahsetmiştim. Tekrar birebir yazımda cebir öğretimizde de emsal problemlerin olduğunu belirtmiş ve buna ileride değineceğimi yazmıştım. Artık bu yazımda bu sözümü tutup cebir öğretimizdeki eksiklik ve kopukluklar ile bunları düzeltme tekliflerinden bahsedeceğim.
Matematiksel kavramlar bir sarmal üzere birbirine eklemlenerek ve birbiri üzerine inşa edilerek oluşturulmaktadır. Bu nedenle ortalarında kopukluklar olmaması gerekir. Gerçekten memleketler arası imtihanlarda görece daha başarılı olan ülkelerin öğretim programlarına baktığımızda cebir öğretiminin Sayılar ve Cebir (Numbers and Algebra) öğrenme alanı olarak okul öncesine kadar indiği görülmektedir. 6. Sınıfa kadar yapılan uygulamalar için ön-cebir ya da cebir öncesi olarak lisanımıza çevirebileceğimiz pre-Algebra terimi kullanılmaktadır. Lakin bütün olarak cebirsel düşünme sözleri de geçmektedir. Bizim öğretim programımızda (İMDÖP, 2018) ise “Cebir öğrenme alanına ait kazanımlar birinci olarak 6. sınıfta yer almaktadır” (s.13) tabiri yer almaktadır. Böylelikle Cebir’in ve cebirsel düşünmenin evvelki öğrenilenler ile ya da kısaca aritmetik ile birlikte öğrenilenlerle bir bağı olmadığı zımnen vurgulanmış olmaktadır. Meğer birebir müfredat kitapçığının (İMDÖP, 2018) ilerleyen sayfalarında “Program’da yer alan cebir öğrenme alanı, matematiksel fikrin kıymetli bir alt boyutu olan cebirsel düşünme açısından matematik öğretimi alanında yapılan çalışmalar dikkate alınarak, ulusal ve memleketler arası çalışmalar incelenerek hazırlanmıştır” (s.15) denilmektedir.
Cebirsel düşünmenin temelleri okul öncesinde atılmaya başlar demiştik. Bu evrede kullanılan örüntülerdeki yineleme yani tekrar eden öge algılanmaya çalışılır. İlerleyen sınıf seviyesi ile ya da çocuklardaki düşünmenin gelişimine paralel olarak kavramlar da gelişir. Örneğin: Örneğin örüntü başlarda sabit ögeli ve tekrar ederken, daha sonra değişerek tekrar eder, vakitle artarak devam eder. Benzeri formda bu ilgilerin kurallarının sembolle yazılması evvel matematik cümlesi, daha sonraları ise eşitlik, denklem, işlev formunda bir gelişime uğrar. Yani çocuğun lisede işlevi anlayabilmek için denklemi güzel anlamış olması, denklemi anlayabilmek için eşitlik/eşitsizlik kavramlarını ve nihayet bunları anlayabilmek için de matematik cümlesini çok istikametli anlamış, öğrenmiş olması gerekir. Pekala, bu durumda şu sorulara karşılık arayalım: 1) Müfredatımızda bu kavramlar var mı? 2) Sırasıyla mı? 3) İlişkilendirilmiş mi? Yani birbiri üzerine mi bina ediliyor?
“Matematik cümlesi” birinci olarak 1. Sınıfın başlarındaki toplama ve çıkarma süreçlerine ilişkin 2 kazanımda verilen açıklamalarda geçiyor. “c) Öğrenci sürece ilişkin matematik cümlesini yazar” (s.27). Tekrar birebir sayfada ve evvelki kazanımlardan birinde “a) Toplama sürecinin sembolü (+) ve eşit işareti (=) tanıtılır ve manaları üzerinde durulur” (s.27) biçimindeki bir ihtar ile eşit işareti ve manasına vurgu yapılmaktadır. “Eşitlik” kavramı ise birinci sefer 2. Sınıfta çıkarma süreci kazanımları altında bir kazanım olarak verilmektedir.
“M.2.1.3.5. Eşit işaretinin matematiksel sözler ortasındaki “eşitlik” manasını fark eder.
Eşit işaretinin her vakit süreç sonucu manası taşımadığı, eşitliğin iki tarafındaki matematiksel tabirlerin istikrar durumunu da (eşitliğini) gösterdiği vurgulanır.
Örneğin 5+6=10+1; 15-3= 18-6; 8+7 = 20-5; 18= 16+2” s.33.
Daha sonra 4. Sınıfta tekrar iki kazanımda eşitlik kavramı geçmektedir.
“M.4.1.5.7. Ortalarında eşitlik durumu olan iki matematiksel tabirden birinde verilmeyen bedeli belirler ve eşitliğin sağlandığını açıklar.
Örneğin 8 + ?= 15 – 3 12 : 4 = ?+ 1 6 x O= 48 – 12
M.4.1.5.8. Ortalarında eşitlik durumu olmayan iki matematiksel sözün eşit olması için yapılması gereken süreçleri açıklar.
Örneğin 8+5 ? 12-3 sözünde eşitlik durumunun sağlanabilmesi için yapılabilecek süreçler üzerinde durulur.” s.46.
Aritmetiğin cebire evrilmesindeki değerli başka iki kavram da “bilinmeyen” ve “değişken” kavramlarıdır. Bir matematik cümlesinde bilinmeyen yerine soru işareti ya da kutu konulabilir. Daha sonra bu örneğin bir alan formülünde harfli sözlere dönüşür. Müfredatımız ise 6. Sınıfın başlarında dahi harfli söz kullanımını bilhassa yasaklamıştır (İMDÖP, 2018:s58). Ancak ne hikmetse Cebir öğrenme alanının birinci kazanımında harfli tabirlerin sayıların yerine kullanılacağı belirtilmektedir. Lakin bu kazanımdan çok evvel programda kullanıldığını görüyoruz. Hem de kullanılmaması gerektiği ihtarından sırf bir sayfa sonra.
“b) Kuralların kullanımında harfli tabirlere yer verilmez” (s.58)
“M.6.1.4. Tam Sayılar
Terimler yahut kavramlar: tam sayı, müspet tam sayı, negatif tam sayı, mutlak değer
Semboller: Z , Z+, Z-, -a-” (s.59)
Fakat tekrar 2 sayfa sonra harfli söz geçmeden cebirsel sözlerdeki harfler denilerek harfli sözler verilmeye, daha doğrusu özgür bırakılmaya çalışılıyor.
“M.6.2.1.1. Sözel olarak verilen bir duruma uygun cebirsel söz ve verilen bir cebirsel söze uygun sözel bir durum muharrir.
a) Cebirsel sözlerde kullanılan harflerin sayıları temsil ettiği ve “değişken” olarak isimlendirildiği belirtilir.
b) En az bir değişken ve süreç içeren tabirlerin “cebirsel ifadeler” olduğu vurgulanır.
c) Terim, sabit terim, misal terim ve katsayı kavramları ele alınır” (s.61)
Hâlbuki bu kazanımdan evvel harfli söz kullanımı daima yasaklandı. Harfli sözlerin kullanımına ve gerekliliğine ait bir uygulama da yok. Kutu bile kullanılmadı. Meğer değişkenden evvel bilinmeyen kavramı olmalıdır. Bu “bilinmeyen” için evvel kutu üzere somut bir obje, gerisinden da bilinmeyen yerine sırasıyla sözcük (örneğin alan), daha sonra bu sözcüğün baş harfi (A), sonra da rastgele bir harfli tabir kullanılmalıydı. Daha sonra bilinmeyen en az ikiye çıktığında bunun artık değişken olduğu, bunlardan birinin bağımsız değişken, oburunun ise ona bağımlı değişken olacağı somut durumlar ile verilebilirdi, verilmeliydi. Pekala, bu durumda çocuk ne yapacak? Öğretmen ne diyorsa onu ezberlemeye çalışacaktır. Matematik açısından çok kapasiteli öğrenciler elbette bu çıkarımı kendi kendilerine yaparken varlıklı, imkanlı çocuklar tahminen özel ders yahut ek bir eğitim ile bunu telafi edecektir. Lakin sessiz çoğunluk bu ilişkiyi kuramadığı için matematik bana nazaran değilmiş, ben sözelciymişim vb. telaffuzlara sığınacaktır. Gerçekten olan durum tam da budur.
Müfredattaki bir diğer sorun ise, Cebir öğrenme alanında verilen birinci kazanımlar “anlayarak öğrenme felsefesine” nazaran değil “önce ezberlenir sonra mana kazandırılır” yaklaşımına uygun düzenlenmiştir.
“M.6.2.1. Cebirsel İfadeler
Terimler yahut kavramlar: cebirsel tabir, değişken, katsayı, terim, sabit terim, misal terim
M.6.2.1.1. Sözel olarak verilen bir duruma uygun cebirsel tabir ve verilen bir cebirsel söze uygun sözel bir durum müellif.
a) Cebirsel tabirlerde kullanılan harflerin sayıları temsil ettiği ve “değişken” olarak isimlendirildiği belirtilir.
b) En az bir değişken ve süreç içeren sözlerin “cebirsel ifadeler” olduğu vurgulanır.
c) Terim, sabit terim, misal terim ve katsayı kavramları ele alınır.
M.6.2.1.2. Cebirsel sözün pahasını değişkenin alacağı farklı doğal sayı pahaları için hesaplar.
M.6.2.1.3. Kolay cebirsel tabirlerin manasını açıklar.
Bu seviyede 4a, a/5, 2±a/5 biçimindeki cebirsel tabirlerin anlaşılmasına yönelik çalışmalara yer verilir.
Örneğin a + a + a + a = 4a, 2b = b + b,
(3+c)/5 = 3/5 + c/5, d/5 = (1/5).d üzere sürece dayalı uygulamaların yanı sıra aşağıda örneklendiği üzere uygun modellerle çalışmalar yapılır.
a
a a a ise a + a + a = 3.a = 3a” (s.62)
Eğer somuttan-soyuta, bilinenden-bilinmeyene, unsurları uygulanacaksa ve çocuklar kavramı evvel algılayıp-anlayıp sonra genişleteceklerse bu 3 kazanımın sırasının bilakis çevrilmesi gerekir. Ama ne mümkün? Öğretim programının daha başlarında kazanım sırasının değiştirilmesi bir ihtar ile kısıtlanmıştır.
Program’da yer alan cebir öğrenme alanı, matematiksel niyetin değerli bir alt boyutu olan cebirsel düşünme açısından matematik öğretimi alanında yapılan çalışmalar dikkate alınarak, ulusal ve milletlerarası çalışmalar incelenerek hazırlanmıştır. Cebir öğrenme alanına ilişkin kazanımlar işlenirken kazanımların sırasına dikkat edilmeli ve yeri geldiğinde öteki öğrenme alanlarında bulunan kazanımlarla ilişkilendirilmelidir. (s.15)
Olmayan harfli sözler temelinin üzerine bir tartı da Geometri öğrenme alanında konulmaktadır.
M.6.3.2.1. Üçgenin alan bağıntısını oluşturur, ilgili sorunları çözer.
a) Noktalı yahut kareli kâğıtta üçgenlerde yükseklik çizme çalışmalarına yer verilir. Geniş açılı üçgenlerdeki yükseklikler de ele alınır.
b) Üçgenin alan bağıntısı oluşturulurken dikdörtgenin alan bağıntısından yararlanılabilir.
Dikkat ediniz dikdörtgen ya da karenin alanı hesaplandı fakat alan bağıntıları daha evvel oluşturulmadı. Lakin burada “yararlanılabilir” diyor. Yararlanılır bari denilseydi. O vakit en azından kullanılması garanti olurdu. Zira alan bağıntılarının birbiri üzerine bina edilebilmesi için evvel dikdörtgen-kare, daha sonra dikdörtgene basitçe dönüştürülebilen paralelkenar ve bunların köşegenle bölünen yarısı olarak üçgen alanlarının bulunması gerekir.
Çözüm nedir? Kavramlar ortası bağların kurulması ve çocuk tarafından bu alakaların algılanabilmesi ve keşfedilebilmesi için yapılması gerekenler:
1) İlkokulun birinci 4 yılında matematik cümlesi ve bilinmeyen kavramlarının birlikte kullanılması ve bilinmeyen yerine matematik cümlesi içinde kutu yahut gibisi bir ikon kullanılabilmesi,
2) Dördüncü sınıfta dikdörtgen ve kare için birinci alan bağıntısı geliştirme çalışmaları sırasında bilinmeyen yerine sözcük kullanılmaya başlanması örneğin Alan=6×4 = 24cm2 üzere.
3) Beşinci sınıfta örüntüler içinde ve alan bağıntıları içinde harfli sözlerin görsel modellerle birlikte kullanılması
4) Altıncı sınıfta üçgen alan bağıntısından evvel dikdörtgen ve kare alan bağıntılarının oluşturulması daha sonra paralelkenar ve sonra da üçgen bağıntısının elde edilmesine yönelik kazanıma geçilmelidir.
5) Altıncı sınıf düzeyinde “öğrencilerden sayı örüntülerinde istenilen terimi bulmaları, cebirsel tabirleri anlamlandırmaları hedeflenmektedir” (İMDÖP, 2018:s.13) denilmektedir. İşte tam da burada harfli tabirler kullanılarak örüntülerin genel tabirlerine geçiş yapılabilir. Bu geçiş cebirsel düşünmenin gelişimi için yaşamsal ehemmiyete sahiptir.
6) Bu bahis ile ilgili olarak cebirsel düşünmenin yol haritası başlığı YouTube üzerinde ile bir görüntü yayımladım. Merak edenlerin izlemesini tavsiye ederim.
Bir dahaki yazımda sayı kavramının öğretiminde yapılan kusurlara, eksikliklere ve düzeltme tekliflerine değineceğim.
Kaynaklar:
**MDÖP (2018). İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı. MEB: Ankara.
News
